Phillips & Magdalinos (2007) 渐进结论与阶数速查手册
本文基于《Limit theory for moderate deviations from a unit root》核心内容，按“近平稳情形（$c<0$）”和“近爆炸情形（$c>0$）”分类整理关键渐进结论、收敛阶数及核心符号，方便速查速用。
一、基础设定与符号说明
1. 核心模型
autoregressive (AR(1)) 过程：
\(y_t = \rho_n y_{t-1} + u_t \quad (t=1,...,n)\)
- $\rho_n = 1 + \frac{c}{k_n}$：单位根的“适度偏离”参数（$c$ 为常数，$k_n$ 为确定性序列）
- 序列条件：$k_n \to \infty$ 且 $k_n = o(n)$（$k_n$ 增长速度慢于样本量 $n$）
- 误差项：$u_t$ 为独立同分布（i.i.d.），$E(u_t)=0$，$E(u_t^2)=\sigma^2<\infty$；近平稳情形额外要求 $E\lvert u_t \rvert^{2+\delta}<\infty$（$\delta>0$）
- 初始条件：$y_0 = o_p(\sqrt{k_n})$（$y_0$ 依概率趋于0的速度快于 $\sqrt{k_n}$）
2. 关键符号定义
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $\to_p$ | 依概率收敛（convergence in probability） |
| $\Rightarrow$ | 弱收敛（weak convergence，即分布收敛） |
| $o_p(1)$ | 依概率趋于0（stochastic order 0） |
| $O_p(1)$ | 依概率有界（stochastic order bounded） |
| $k_n = o(n)$ | $k_n$ 是 $n$ 的低阶无穷小（$\lim_{n\to\infty} \frac{k_n}{n}=0$） |
| $N(\mu,\sigma^2)$ | 均值为 $\mu$、方差为 $\sigma^2$ 的正态分布 |
| $C$ | 标准柯西分布（standard Cauchy distribution） |
二、近平稳情形（$c<0$）：渐进结论与阶数
当 $\rho_n = 1 + \frac{c}{k_n}$ 且 $c<0$ 时，过程接近平稳（$\rho_n < 1$），核心结论围绕“样本方差、样本协方差、序列相关系数”的收敛性展开，且收敛阶桥接平稳情形（$\sqrt{n}$）与局部单位根情形（$n$）。
1. 样本方差（$\sum_{t=1}^n y_{t-1}^2$）
- 渐进收敛阶：$\sum_{t=1}^n y_{t-1}^2 = O_p(n k_n)$（依概率为 $n k_n$ 阶）
- 依概率极限：
\(\frac{1}{n k_n} \sum_{t=1}^n y_{t-1}^2 \to_p \frac{\sigma^2}{-2c}\)
（标准化后收敛到非随机常数，类似平稳AR(1)的方差极限 $\frac{\sigma^2}{1-\rho^2}$）
2. 样本协方差（$\sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t$）
- 渐进收敛阶：$\sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t = O_p(\sqrt{n k_n})$（依概率为 $\sqrt{n k_n}$ 阶）
- 弱收敛分布：
\(\frac{1}{\sqrt{n k_n}} \sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t \Rightarrow N\left(0, \frac{\sigma^4}{-2c}\right)\)
（标准化后服从正态分布，方差与样本方差的极限相关）
3. 序列相关系数（$\hat{\rho}_n - \rho_n$）
- 核心公式：$\hat{\rho}n - \rho_n = \frac{\sum{t=1}^n y_{t-1} u_t}{\sum_{t=1}^n y_{t-1}^2}$（OLS估计量的中心化形式）
- 渐进收敛阶：$\hat{\rho}_n - \rho_n = O_p\left(\frac{1}{\sqrt{n k_n}}\right)$（依概率为 $\frac{1}{\sqrt{n k_n}}$ 阶）
- 弱收敛分布：
\(\sqrt{n k_n} \left(\hat{\rho}_n - \rho_n\right) \Rightarrow N(0, -2c)\)
4. 特殊参数化（$k_n = n^\alpha$，$\alpha \in (0,1)$）
当 $k_n$ 取多项式增长（常见设定）时，结论简化为：
| 统计量 | 收敛阶 | 弱收敛分布 |
|---|---|---|
| $\sum_{t=1}^n y_{t-1}^2$ | $O_p(n^{1+\alpha})$ | $\frac{1}{n^{1+\alpha}} \sum… \to_p \frac{\sigma^2}{-2c}$ |
| $\sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t$ | $O_p(n^{\frac{1+\alpha}{2}})$ | $\frac{1}{n^{\frac{1+\alpha}{2}}} \sum… \Rightarrow N\left(0, \frac{\sigma^4}{-2c}\right)$ |
| $\hat{\rho}_n - \rho_n$ | $O_p\left(\frac{1}{n^{\frac{1+\alpha}{2}}}\right)$ | $n^{\frac{1+\alpha}{2}} (\hat{\rho}_n - \rho_n) \Rightarrow N(0, -2c)$ |
桥接作用：当 $\alpha \to 0$ 时，收敛阶接近平稳情形（$\sqrt{n}$）；当 $\alpha \to 1$ 时，接近局部单位根情形（$n$）。
三、近爆炸情形（$c>0$）：渐进结论与阶数
当 $\rho_n = 1 + \frac{c}{k_n}$ 且 $c>0$ 时，过程接近爆炸（$\rho_n > 1$），核心结论围绕“样本矩的联合收敛”和“柯西极限分布”展开，且无需高斯假设即可满足不变原理。
1. 样本矩的联合弱收敛
定义标准化样本协方差与样本方差：
- 标准化样本协方差：$\frac{\rho_n^{-n}}{k_n} \sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t$
-
标准化样本方差：$\frac{\rho_n^{-2n}}{k_n^2} \sum_{t=1}^n y_{t-1}^2$
- 联合弱收敛结果：
\(\left( \frac{\rho_n^{-n}}{k_n} \sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t,\ \frac{\rho_n^{-2n}}{k_n^2} \sum_{t=1}^n y_{t-1}^2 \right) \Rightarrow (X Y,\ Y^2)\)
其中：$X$ 与 $Y$ 独立，且均服从 $N\left(0, \frac{\sigma^2}{2c}\right)$（正态分布）。
2. 序列相关系数（$\hat{\rho}_n - \rho_n$）
- 渐进收敛阶：$\hat{\rho}_n - \rho_n = O_p\left(\frac{\rho_n^{-n}}{k_n}\right)$（依概率为 $\frac{\rho_n^{-n}}{k_n}$ 阶，$\rho_n^n$ 指数增长，故收敛速度极快）
- 弱收敛分布：
\(\frac{k_n \rho_n^n}{2c} \left( \hat{\rho}_n - \rho_n \right) \Rightarrow C\)
（$C$ 为标准柯西分布，与误差项分布无关，满足不变原理）
3. 特殊参数化（$k_n = n^\alpha$，$\alpha \in (0,1)$）
- 收敛阶简化：$\hat{\rho}_n - \rho_n = O_p\left(\frac{\rho_n^{-n}}{n^\alpha}\right)$
- 分布结论不变：$\frac{n^\alpha \rho_n^n}{2c} (\hat{\rho}_n - \rho_n) \Rightarrow C$
- 桥接作用：当 $\alpha \to 0$ 时，收敛阶接近纯爆炸情形（$\rho^n$）；当 $\alpha \to 1$ 时，接近局部单位根情形（$n$）。
四、边界情形与补充结论
1. 负单位根的适度偏离（对称误差假设）
若过程为 $z_t = \theta_n z_{t-1} + v_t$（$\theta_n = -1 + \frac{c}{k_n}$），且 $v_t$ 分布满足对称性（$F_{v_1}(x) = 1 - F_{v_1}(-x)$），令 $x_t = (-1)^t z_t$、$\varepsilon_t = (-1)^t v_t$，则 $x_t$ 转化为前述 $\rho_n = 1 - \frac{c}{k_n}$ 的过程，结论如下：
| 情形 | 序列相关系数的渐进分布 |
|---|---|
| 近平稳（$c>0$） | $\sqrt{n k_n} (\hat{\theta}_n - \theta_n) \Rightarrow N(0, 2c)$ |
| 近爆炸（$c<0$） | $\frac{k_n \lvert \theta_n \rvert^n}{-2c} (\hat{\theta}_n - \theta_n) \Rightarrow C$ |
2. 关键引理的阶数结论
| 引理 | 核心阶数结论 |
|---|---|
| 引理3.1（近平稳） | $\frac{1}{n} y_{\lfloor n s \rfloor}^2 \to_p 0$，$\frac{1}{n} \sum_{t=1}^{\lfloor n s \rfloor} y_{t-1} u_t \to_p 0$（$s \in [0,1]$） |
| 引理4.1（近爆炸） | $\frac{\rho_n^{-n}}{k_n} \sum_{t=1}^n \sum_{j=t}^n \rho_n^{t-j-1} u_j u_t \to_{L_1} 0$（$L_1$ 收敛到0） |
| 命题A.1 | 近平稳：$\rho_n^n = o\left(\frac{k_n}{n}\right)$；近爆炸：$\rho_n^{-n} = o\left(\frac{k_n}{n}\right)$ |
五、速查对照表（核心结论汇总）
| 场景 | 统计量 | 收敛阶 | 渐进分布/极限 |
|---|---|---|---|
| 近平稳（$c<0$） | $\sum y_{t-1}^2$ | $O_p(n k_n)$ | $\frac{1}{n k_n} \sum… \to_p \frac{\sigma^2}{-2c}$ |
| 近平稳（$c<0$） | $\sum y_{t-1} u_t$ | $O_p(\sqrt{n k_n})$ | $\frac{1}{\sqrt{n k_n}} \sum… \Rightarrow N\left(0, \frac{\sigma^4}{-2c}\right)$ |
| 近平稳（$c<0$） | $\hat{\rho}_n - \rho_n$ | $O_p\left(\frac{1}{\sqrt{n k_n}}\right)$ | $\sqrt{n k_n} (\hat{\rho}_n - \rho_n) \Rightarrow N(0, -2c)$ |
| 近爆炸（$c>0$） | $\sum y_{t-1} u_t$ | $O_p\left(\frac{k_n}{\rho_n^n}\right)$ | 联合收敛到 $X Y$（$X,Y \sim N(0, \frac{\sigma^2}{2c})$） |
| 近爆炸（$c>0$） | $\sum y_{t-1}^2$ | $O_p\left(\frac{k_n^2}{\rho_n^{2n}}\right)$ | 联合收敛到 $Y^2$（$Y \sim N(0, \frac{\sigma^2}{2c})$） |
| 近爆炸（$c>0$） | $\hat{\rho}_n - \rho_n$ | $O_p\left(\frac{\rho_n^{-n}}{k_n}\right)$ | $\frac{k_n \rho_n^n}{2c} (\hat{\rho}_n - \rho_n) \Rightarrow C$ |
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