一些常用的经验法则

一、时间序列模型的阶数经验法则

1. 单位根类过程

记忆口诀：”近根$\sqrt{T}$，中偏离$T^{α/2}$，爆炸$\rho^T$”

考虑： \(y_t = \rho_n y_{t-1} + u_t, \quad \rho_n = 1 + \frac{c}{k_n}\) 其中 $k_n = T^\alpha$，$0 < \alpha < 1$，所以： \(\rho_n = 1 + \frac{c}{T^\alpha}\)

精确解： \(y_T = \rho_n^T y_0 + \sum_{j=1}^T \rho_n^{T-j} u_j\)

初始项：$\rho_n^T y_0$
计算： \(\rho_n^T = \left(1 + \frac{c}{T^\alpha}\right)^T = \exp\left[T \cdot \ln\left(1 + \frac{c}{T^\alpha}\right)\right] \approx \exp\left[T \cdot \frac{c}{T^\alpha} + O\left(\frac{1}{T^{2\alpha-1}}\right)\right]\) \(= \exp\left(c T^{1-\alpha} + o(1)\right)\) 因为 $1-\alpha > 0$，所以：

• 若 $c > 0$：$\rho_n^T \to \infty$ 指数速度
• 若 $c < 0$：$\rho_n^T \to 0$ 指数速度

但初始条件 $y_0$ 假设为 $o_p(\sqrt{k_n}) = o_p(T^{\alpha/2})$，所以初始项为： \(\rho_n^T y_0 = o_p(T^{\alpha/2} \rho_n^T)\)

累积项（主项）： \(S_T = \sum_{j=1}^T \rho_n^{T-j} u_j\) 方差： \(\text{Var}(S_T) = \sigma^2 \sum_{j=1}^T \rho_n^{2(T-j)} = \sigma^2 \sum_{m=0}^{T-1} \rho_n^{2m} = \sigma^2 \frac{\rho_n^{2T} - 1}{\rho_n^2 - 1}\)

现在： \(\rho_n^2 - 1 = \left(1 + \frac{c}{T^\alpha}\right)^2 - 1 = \frac{2c}{T^\alpha} + \frac{c^2}{T^{2\alpha}} \sim \frac{2c}{T^\alpha}\)

所以： \(\text{Var}(S_T) \sim \sigma^2 \frac{\rho_n^{2T} - 1}{2c/T^\alpha} = \frac{\sigma^2 T^\alpha}{2c} (\rho_n^{2T} - 1)\)

关键：$\rho_n^{2T}$ 的渐近行为

情况1：$c < 0$（近平稳中度偏离） 此时 $\rho_n^{2T} \to 0$ 指数速度，所以： \(\text{Var}(S_T) \sim \frac{\sigma^2 T^\alpha}{2|c|} \cdot 1 = O(T^\alpha)\) ⇒ 标准差为 $O(T^{\alpha/2})$，所以 $y_T = O_p(T^{\alpha/2})$

情况2：$c > 0$（爆炸中度偏离） 此时 $\rho_n^{2T} \to \infty$ 指数速度，且： \(\rho_n^{2T} = \exp(2c T^{1-\alpha}) \gg 1\) 所以： \(\text{Var}(S_T) \sim \frac{\sigma^2 T^\alpha}{2c} \rho_n^{2T} = O(T^\alpha \rho_n^{2T})\) ⇒ 标准差为 $O(T^{\alpha/2} \rho_n^T)$，所以 $y_T = O_p(T^{\alpha/2} \rho_n^T)$

记忆技巧

• 中度偏离的关键：看 $T^{1-\alpha}$ 在指数里
  • $c < 0$：波动被控制为多项式阶 $T^{\alpha/2}$
  • $c > 0$：波动指数爆炸，但有多项式修正 $T^{\alpha/2}$
• 特例：当 $\alpha=1$ 回到近单位根；当 $\alpha=0$ 回到固定根

二、估计量的阶数经验法则

1. 样本均值类

\(\bar{X} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T X_t\)

• 如果$X_t$是独立同分布：$O_p(1/\sqrt{T})$
• 如果$X_t$有长期方差Ω：$O_p(\sqrt{Ω/T})$
• 如果$X_t$有单位根：$O_p(\sqrt{T})$（因为方差是O(T)）

是的，这里说的样本均值类计算的就是 $\bar{X} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T X_t$ 本身的随机阶数 $O_p(\cdot)$。

详细解释：

• 如果 $X_t$ 是独立同分布： \(\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\text{Var}(X_1)}{T} = O\left(\frac{1}{T}\right)\) 所以标准差为 $O(1/\sqrt{T})$，即 $\bar{X} - E[X_t] = O_p(1/\sqrt{T})$。 如果 $E[X_t] = 0$，则 $\bar{X} = O_p(1/\sqrt{T})$。

• 如果 $X_t$ 有长期方差 $\Omega$（例如平稳但自相关）： \(\text{Var}(\sqrt{T} \bar{X}) \to \Omega\) 所以 $\bar{X} = O_p(\sqrt{\Omega/T})$。

• 如果 $X_t$ 有单位根： 实际上，对于随机游走：
• $X_T = O_p(\sqrt{T})$
• $\bar{X} = \frac{1}{T}\sum_{t=1}^T X_t$，其中 $X_t$ 的方差增长，所以大 $t$ 的项主导。

更标准的结果（Phillips, 1986）： \(\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T X_t \Rightarrow \sigma \int_0^1 W(r) dr\) 这里 $T$ 是缩放因子：实际上要写成： \(\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T X_t = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T O_p(\sqrt{t})\) 近似为积分：$\frac{1}{T} \int_0^T O_p(\sqrt{r}) dr = O_p(\sqrt{T})$

所以正确阶数是： \(\bar{X} = O_p(\sqrt{T}) \quad \text{对于单位根过程}\)

长期方差直观理解

长期方差衡量的是一个平稳但可能自相关的时间序列的样本均值的方差，在长期（大样本下）到底有多大。

• 普通方差（瞬时方差）：$ \text{Var}(X_t) $ —— 衡量单期波动
• 长期方差：$ \Omega $ —— 衡量样本均值 $ \bar{X} $ 的波动

当数据存在自相关时，正的自相关会使得样本均值比独立情形下更不稳定，长期方差就是用来捕捉这种效应的。

数学定义

对于一个零均值的平稳时间序列 $ {X_t} $，定义其长期方差为：

\(\Omega = \lim_{T \to \infty} T \cdot \text{Var}(\bar{X})\) 其中 $\bar{X} = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T X_t$。

等价地，长期方差等于所有自协方差之和： \(\Omega = \sum_{j=-\infty}^{\infty} \gamma(j)\) 其中 $\gamma(j) = \text{Cov}(X_t, X_{t-j})$ 是间隔为 $j$ 的自协方差。

为什么这样定义？

回忆样本均值的方差公式： \(\text{Var}(\bar{X}) = \text{Var}\left( \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T X_t \right) = \frac{1}{T^2} \sum_{t=1}^T \sum_{s=1}^T \text{Cov}(X_t, X_s)\)

由于平稳性，$\text{Cov}(X_t, X_s) = \gamma(\lvert t-s \rvert)$，所以： \(\text{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{T^2} \left[ T\gamma(0) + 2(T-1)\gamma(1) + 2(T-2)\gamma(2) + \cdots + 2\gamma(T-1) \right]\)

当 $T$ 很大时： \(T \cdot \text{Var}(\bar{X}) \approx \gamma(0) + 2\sum_{j=1}^{\infty} \gamma(j) = \sum_{j=-\infty}^{\infty} \gamma(j)\) 这就是长期方差 $\Omega$。

例子

例1：白噪声（无自相关）

• $\gamma(0) = \sigma^2$，$\gamma(j) = 0$（当 $j \ne 0$）
• $\Omega = \sigma^2$
• $\text{Var}(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{T}$，与独立情形一致

例2：MA(1)过程

$X_t = \varepsilon_t + \theta \varepsilon_{t-1}$，$\varepsilon_t \sim WN(0,\sigma^2)$

• $\gamma(0) = (1+\theta^2)\sigma^2$
• $\gamma(1) = \theta\sigma^2$，$\gamma(j)=0$（当 $j>1$）
• $\Omega = \gamma(0) + 2\gamma(1) = (1+\theta^2 + 2\theta)\sigma^2 = (1+\theta)^2\sigma^2$

例3：AR(1)过程

$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$，$\lvert \phi \rvert<1$

• $\gamma(j) = \phi^{\lvert j \rvert} \frac{\sigma^2}{1-\phi^2}$
• $\Omega = \sum_{j=-\infty}^{\infty} \gamma(j) = \frac{\sigma^2}{1-\phi^2} \left[ 1 + 2\sum_{j=1}^{\infty} \phi^j \right] = \frac{\sigma^2}{1-\phi^2} \cdot \frac{1+\phi}{1-\phi} = \frac{\sigma^2}{(1-\phi)^2}$

与经济金融的联系

1. 有效市场假设检验：如果收益率是独立的，长期方差应该等于普通方差；如果存在动量或均值回复，长期方差会不同。

2. 风险度量：投资组合的长期风险不仅取决于单期波动，还取决于收益率的自相关结构。

3. 单位根检验：很多检验统计量（如KPSS检验）涉及到长期方差的估计。

记忆要点

• 长期方差 = 所有自协方差之和
• 度量的不是 $X_t$ 的方差，而是样本均值 $\bar{X}$ 的方差（乘以 $T$）
• 正自相关 → 长期方差 > 普通方差
• 负自相关 → 长期方差 < 普通方差
• 在中心极限定理中：$\sqrt{T}(\bar{X} - \mu) \Rightarrow N(0, \Omega)$

这样当我说”如果 $X_t$ 有长期方差 $\Omega$，则 $\bar{X} = O_p(\sqrt{\Omega/T})$”时，你应该明白：

• $\sqrt{T} \bar{X}$ 的渐近方差是 $\Omega$
• 所以 $\bar{X}$ 本身的波动是 $O_p(\sqrt{\Omega/T})$

三、回归系数类

考虑一元回归： \(y_t = \beta x_t + u_t\) 用 OLS 估计：$\hat{\beta} = \frac{\sum x_t y_t}{\sum x_t^2}$

我们要研究 $\hat{\beta} - \beta$ 的随机阶数。

情况1：平稳回归

条件：$x_t$ 是平稳过程（比如 ARMA 过程），$u_t$ 是平稳误差，且与 $x_t$ 独立或至少不相关。

结果：$\hat{\beta} - \beta = O_p(1/\sqrt{T})$

直观解释：

• OLS 估计量的标准差大约是 $O(1/\sqrt{T})$
• 这是经典的标准“根T一致性”
• 对应中心极限定理：$\sqrt{T}(\hat{\beta} - \beta) \Rightarrow N(0, V)$

记忆：”平稳√T”

情况2：非平稳回归（虚假回归）

条件：$x_t$ 有单位根（如随机游走），但 $y_t$ 和 $x_t$ 实际上没有协整关系（即 $u_t$ 也有单位根）。

结果：$\hat{\beta} - \beta = O_p(1/T)$

直观解释：

• 当 $x_t$ 和 $y_t$ 都是随机游走但无关时，OLS 估计量仍然会收敛到某个随机变量（不是真值）
• 收敛速度更快（$1/T$ 而不是 $1/\sqrt{T}$）
• 这就是著名的”虚假回归”问题（Granger & Newbold, 1974）
• 虽然收敛快，但极限分布不是正态的，有严重的尺寸扭曲

记忆：”非平稳T”

情况3：协整回归

条件：$x_t$ 和 $y_t$ 都有单位根，但它们的线性组合 $y_t - \beta x_t = u_t$ 是平稳的（即存在协整关系）。

结果：$\hat{\beta} - \beta = O_p(T^{-1})$

直观解释：

• 这是真正的”超一致性”（superconsistency）
• 收敛速度 $O_p(1/T)$ 比标准情况 $O_p(1/\sqrt{T})$ 快得多
• 因为随机游走的波动（$O_p(\sqrt{T})$）比平稳序列（$O_p(1)$）大，提供了更多信息
• Stock (1987) 的经典结果

记忆：”协整也是T”

数学直觉

为什么非平稳情形收敛更快？

看 OLS 公式： \(\hat{\beta} - \beta = \frac{\sum x_t u_t}{\sum x_t^2}\)

• 分母：如果 $x_t$ 是随机游走，$\sum x_t^2 = O_p(T^2)$（因为 $x_t = O_p(\sqrt{t})$，平方后求和得 $O_p(T^2)$）
• 分子：$\sum x_t u_t$ 的阶数取决于 $x_t$ 和 $u_t$ 的关系：
  • 如果 $u_t$ 也有单位根（虚假回归）：分子 $O_p(T^2)$，比值 $O_p(1)$
  • 如果 $u_t$ 平稳（协整）：分子 $O_p(T)$，比值 $O_p(1/T)$

实证意义

1. 发现协整关系很重要：如果存在协整，即使样本不大，也能比较精确地估计长期关系
2. 小心虚假回归：两个不相关的单位根过程做回归，t 统计量会很大，但这是假的
3. 检验协整：先用 ADF 检验单位根，再用 Engle-Granger 或 Johansen 检验协整

这就是”平稳√T，非平稳T”口诀背后的深刻计量理论。

三、随机积分和布朗运动的阶数

如果 $W(r)$ 是布朗运动：

对于随机游走 $y_t$：

1. $\int_0^1 W(r)dr$

含义：布朗运动在区间 [0,1] 上的路径平均值。

为什么是 $O_p(1)$：

• 布朗运动 $W(r) = O_p(1)$ 对每个固定的 $r$
• 积分是对 $r$ 取平均，不会改变阶数
• 具体分布：$\int_0^1 W(r)dr \sim N\left(0, \frac{1}{3}\right)$

应用：在单位根检验中，样本均值的极限分布涉及这个积分。

2. $\int_0^1 W(r)dW(r)$

含义：伊藤积分，在计量经济学中经常出现。

为什么是 $O_p(1)$：

• 根据伊藤等距：$\text{Var}\left(\int_0^1 W(r)dW(r)\right) = \int_0^1 E[W(r)^2]dr = \int_0^1 r dr = \frac{1}{2}$
• 具体分布：$\int_0^1 W(r)dW(r) = \frac{1}{2}(W(1)^2 - 1)$

应用：在 AR(1) 过程的 OLS 估计量中： \(\sum y_{t-1} u_t \Rightarrow \sigma^2 \int_0^1 W(r)dW(r)\)

3. $\sup_{0≤r≤1} |W(r)|$

含义：布朗运动在 [0,1] 上的最大绝对值的上确界。

为什么是 $O_p(1)$：

• 布朗运动在有限区间上有界（以概率1）
• 具体分布：由反射原理，$P(\sup_{0≤r≤1} W(r) > x) = 2[1 - \Phi(x)]$

应用：在结构变化检验、变点检测中很重要。

4. $T^{-1/2}W(Tr)$

含义：缩放布朗运动，这是函数中心极限定理的核心对象。

为什么是 $O_p(1)$：

• 对于固定的 $r$，$W(Tr) = O_p(\sqrt{T})$
• 除以 $\sqrt{T}$ 后得到 $O_p(1)$
• 更重要的是：作为随机过程，$T^{-1/2}W(T\cdot) \Rightarrow W(\cdot)$ 在 Skorohod 拓扑下

应用：单位根渐近理论的基本构造块。例如： \(\frac{1}{\sqrt{T}} y_{\lfloor Tr \rfloor} \Rightarrow \sigma W(r)\)

为什么这些重要？

在时间序列渐近理论中，许多统计量可以表示为布朗运动泛函：

• 例子1：样本均值（单位根过程） \(\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T y_t \Rightarrow \sigma \int_0^1 W(r)dr = O_p(1)\)

• 例子2：OLS估计量（单位根） \(T(\hat{\rho} - 1) \Rightarrow \frac{\int_0^1 W(r)dW(r)}{\int_0^1 W(r)^2 dr} = O_p(1)\)

• 例子3：t统计量（单位根） \(t_{\hat{\rho}} \Rightarrow \frac{\int_0^1 W(r)dW(r)}{\sqrt{\int_0^1 W(r)^2 dr}} = O_p(1)\)

记忆技巧

1. 所有布朗运动泛函都是 $O_p(1)$ —— 这是关键洞察
2. 缩放规则：
   • $W(T) = O_p(\sqrt{T})$
   • $\int_0^T W(s)ds = O_p(T^{3/2})$（需要缩放 $T^{-3/2}$ 得到 $O_p(1)$）
   • $\sum_{t=1}^T W(t) = O_p(T^{3/2})$
3. 在单位根渐近中，找到正确的标准化因子使得极限是这些 $O_p(1)$ 的布朗运动泛函

四、简单实用的”猜阶数”流程

当你遇到一个随机序列时，按以下步骤思考：

步骤1：看结构

• 是求和形式吗？ $\sum f(t,T)ε_t$ → 计算权重的平方和
• 是递归形式吗？ $X_t = a_T X_{t-1} + ε_t$ → 看$a_T$的性质
• 是乘积形式吗？ 取对数可能变成求和

步骤2：找”主导源”

• 初始值传播：$X_0 × (\text{衰减因子})$ → 通常不是主导项
• 误差累积：$\sum (\text{权重}) × ε_t$ → 通常是主导项
• 非线性项：通常阶数更高，可以忽略

步骤3：快速方差计算（最实用！）

对线性形式 $X_T = \sum w_{t,T} ε_t$： \(\text{Var}(X_T) = σ^2 \sum w_{t,T}^2\) 计算权重平方和，开根号就是标准差阶数。

步骤4：比较已知案例

“这个看起来像单位根？像平稳AR(1)？像爆炸过程？”

五、经典案例快速判断表

六、实战小技巧

1. 先算方差：90%的情况，算方差就能猜出阶数
2. 看T的幂次：在求和式中，通常阶数是 $O_p(T^{β+0.5})$，其中β是权重函数的幂次
3. 记住几个基准：
   • 白噪声：$O_p(1)$
   • 随机游走：$O_p(\sqrt{T})$
   • 趋势：$O_p(T)$
   • 爆炸：$O_p(ρ^T)$
4. 怀疑时就取对数：对乘积过程，取对数变成求和，更容易分析

这些经验法则能帮助你在看到问题后几秒钟内给出阶数的合理猜测，然后再用严格方法验证。

Phillips & Magdalinos (2007) 渐进结论与阶数速查手册

本文基于《Limit theory for moderate deviations from a unit root》核心内容，按“近平稳情形（$c<0$）”和“近爆炸情形（$c>0$）”分类整理关键渐进结论、收敛阶数及核心符号，方便速查速用。

一、基础设定与符号说明

1. 核心模型

autoregressive (AR(1)) 过程：
\(y_t = \rho_n y_{t-1} + u_t \quad (t=1,...,n)\)

• $\rho_n = 1 + \frac{c}{k_n}$：单位根的“适度偏离”参数（$c$ 为常数，$k_n$ 为确定性序列）
• 序列条件：$k_n \to \infty$ 且 $k_n = o(n)$（$k_n$ 增长速度慢于样本量 $n$）
• 误差项：$u_t$ 为独立同分布（i.i.d.），$E(u_t)=0$，$E(u_t^2)=\sigma^2<\infty$；近平稳情形额外要求 $E\lvert u_t \rvert^{2+\delta}<\infty$（$\delta>0$）
• 初始条件：$y_0 = o_p(\sqrt{k_n})$（$y_0$ 依概率趋于0的速度快于 $\sqrt{k_n}$）

2. 关键符号定义

二、近平稳情形（$c<0$）：渐进结论与阶数

当 $\rho_n = 1 + \frac{c}{k_n}$ 且 $c<0$ 时，过程接近平稳（$\rho_n < 1$），核心结论围绕“样本方差、样本协方差、序列相关系数”的收敛性展开，且收敛阶桥接平稳情形（$\sqrt{n}$）与局部单位根情形（$n$）。

1. 样本方差（$\sum_{t=1}^n y_{t-1}^2$）

• 渐进收敛阶：$\sum_{t=1}^n y_{t-1}^2 = O_p(n k_n)$（依概率为 $n k_n$ 阶）
• 依概率极限：
  \(\frac{1}{n k_n} \sum_{t=1}^n y_{t-1}^2 \to_p \frac{\sigma^2}{-2c}\)
  （标准化后收敛到非随机常数，类似平稳AR(1)的方差极限 $\frac{\sigma^2}{1-\rho^2}$）

2. 样本协方差（$\sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t$）

• 渐进收敛阶：$\sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t = O_p(\sqrt{n k_n})$（依概率为 $\sqrt{n k_n}$ 阶）
• 弱收敛分布：
  \(\frac{1}{\sqrt{n k_n}} \sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t \Rightarrow N\left(0, \frac{\sigma^4}{-2c}\right)\)
  （标准化后服从正态分布，方差与样本方差的极限相关）

3. 序列相关系数（$\hat{\rho}_n - \rho_n$）

• 核心公式：$\hat{\rho}n - \rho_n = \frac{\sum{t=1}^n y_{t-1} u_t}{\sum_{t=1}^n y_{t-1}^2}$（OLS估计量的中心化形式）
• 渐进收敛阶：$\hat{\rho}_n - \rho_n = O_p\left(\frac{1}{\sqrt{n k_n}}\right)$（依概率为 $\frac{1}{\sqrt{n k_n}}$ 阶）
• 弱收敛分布：
  \(\sqrt{n k_n} \left(\hat{\rho}_n - \rho_n\right) \Rightarrow N(0, -2c)\)

4. 特殊参数化（$k_n = n^\alpha$，$\alpha \in (0,1)$）

当 $k_n$ 取多项式增长（常见设定）时，结论简化为：

桥接作用：当 $\alpha \to 0$ 时，收敛阶接近平稳情形（$\sqrt{n}$）；当 $\alpha \to 1$ 时，接近局部单位根情形（$n$）。

三、近爆炸情形（$c>0$）：渐进结论与阶数

当 $\rho_n = 1 + \frac{c}{k_n}$ 且 $c>0$ 时，过程接近爆炸（$\rho_n > 1$），核心结论围绕“样本矩的联合收敛”和“柯西极限分布”展开，且无需高斯假设即可满足不变原理。

1. 样本矩的联合弱收敛

定义标准化样本协方差与样本方差：

• 标准化样本协方差：$\frac{\rho_n^{-n}}{k_n} \sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t$

• 标准化样本方差：$\frac{\rho_n^{-2n}}{k_n^2} \sum_{t=1}^n y_{t-1}^2$

• 联合弱收敛结果：
  \(\left( \frac{\rho_n^{-n}}{k_n} \sum_{t=1}^n y_{t-1} u_t,\ \frac{\rho_n^{-2n}}{k_n^2} \sum_{t=1}^n y_{t-1}^2 \right) \Rightarrow (X Y,\ Y^2)\)
  其中：$X$ 与 $Y$ 独立，且均服从 $N\left(0, \frac{\sigma^2}{2c}\right)$（正态分布）。

2. 序列相关系数（$\hat{\rho}_n - \rho_n$）

• 渐进收敛阶：$\hat{\rho}_n - \rho_n = O_p\left(\frac{\rho_n^{-n}}{k_n}\right)$（依概率为 $\frac{\rho_n^{-n}}{k_n}$ 阶，$\rho_n^n$ 指数增长，故收敛速度极快）
• 弱收敛分布：
  \(\frac{k_n \rho_n^n}{2c} \left( \hat{\rho}_n - \rho_n \right) \Rightarrow C\)
  （$C$ 为标准柯西分布，与误差项分布无关，满足不变原理）

3. 特殊参数化（$k_n = n^\alpha$，$\alpha \in (0,1)$）

• 收敛阶简化：$\hat{\rho}_n - \rho_n = O_p\left(\frac{\rho_n^{-n}}{n^\alpha}\right)$
• 分布结论不变：$\frac{n^\alpha \rho_n^n}{2c} (\hat{\rho}_n - \rho_n) \Rightarrow C$
• 桥接作用：当 $\alpha \to 0$ 时，收敛阶接近纯爆炸情形（$\rho^n$）；当 $\alpha \to 1$ 时，接近局部单位根情形（$n$）。

四、边界情形与补充结论

1. 负单位根的适度偏离（对称误差假设）

若过程为 $z_t = \theta_n z_{t-1} + v_t$（$\theta_n = -1 + \frac{c}{k_n}$），且 $v_t$ 分布满足对称性（$F_{v_1}(x) = 1 - F_{v_1}(-x)$），令 $x_t = (-1)^t z_t$、$\varepsilon_t = (-1)^t v_t$，则 $x_t$ 转化为前述 $\rho_n = 1 - \frac{c}{k_n}$ 的过程，结论如下：

2. 关键引理的阶数结论

五、速查对照表（核心结论汇总）

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